Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

Anterior Siguiente
1. Calcule el área de la región comprendida entre los gráficos de las siguientes curvas:
k) f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x, eje x,x=1e,x=ex, x=\frac{1}{e}, x=e

Respuesta

Vamos con el último de esta tanda!

En este problema tenemos dos funciones involucradas:
f(x)=ln⁡x f(x) = \ln x
g(x)=0 g(x) = 0 Además, nos imponen los límites de integración x=1e x = \frac{1}{e} y x=e x = e . 1) Buscamos los puntos de intersección entre f f y g g ln⁡x=0 \ln x = 0
x=1 x = 1 El punto de intersección es x=1 x = 1 . 2) Techo y piso  
En el intervalo (1/e,1)(1/e, 1) -> El eje xx es techo y ff es piso

En el intervalo (1,e)(1,e) -> La función ff es techo y el eje xx es piso
  3) Planteamos la integral del área A=∫1e1(0−ln⁡x) dx+∫1e(ln⁡x−0) dx A = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (0 - \ln x) \, dx + \int_{1}^{e} (\ln x - 0) \, dx

La integral ∫ln⁡(x) dx\int \ln(x) \, dx ya la resolvimos un par de veces en la práctica anterior y también la hicimos por primera vez en la clase "Integrales que salen por partes usando algún truquito". El resultado al que habíamos llegado es:

∫ln⁡(x) dx=x⋅ln⁡(x)−x\int \ln(x) \, dx = x \cdot \ln(x) - x

Ahora, usando esto, calculamos cada integral por separado (asi no se hace tan cuentoso)

Integral 1

∫1e1−ln⁡x dx=−x⋅ln⁡(x)+x∣1e1=1−(−1eln⁡1e+1e)=1+1eln⁡1e− 1e\int_{\frac{1}{e}}^{1} - \ln x \, dx = -x \cdot \ln(x) + x \Big|_{\frac{1}{e}}^{1} = 1 - ( -\frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} + \frac{1}{e}) = 1 + \frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} - \frac{1}{e}

Si ponés en la calcu ln⁡1e\ln \frac{1}{e} vas a ver que es igual a −1-1, así que el resultado de esta integral nos queda:

1+1eln⁡1e− 1e=1−1e− 1e=1−2e 1 + \frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} - \frac{1}{e} = 1 -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} = 1 -\frac{2}{e}

Integral 2

∫1eln⁡x dx=  x⋅ln⁡(x)−x∣1e=e−e−(−1)=1 \int_{1}^{e} \ln x \, dx =  x \cdot \ln(x) - x \Big|_{1}^{e} = e - e -(-1) = 1

Sumamos los dos resultados y obtenemos:

A=∫1e1(0−ln⁡x) dx+∫1e(ln⁡x−0) dx= 1−2e+1=2 −2e A = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (0 - \ln x) \, dx + \int_{1}^{e} (\ln x - 0) \, dx = 1 -\frac{2}{e} + 1 = 2 -\frac{2}{e}

Por lo tanto, el área encerrada es 2 −2e2 -\frac{2}{e}
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Andres
12 de junio 16:22
Hola flor, pregunto aca ya que no se por donde hacerlo, los ejercicios 2,3 y 4 no me aparecen en la guia por algo?
0 Responder
Flor
PROFE
12 de junio 18:29
@Andres Hola Andrés! De esta guía no resolví los ejercicios 2, 3 y 4 + los de "Problemas y complementos" porque quiero llegar a terminar el curso de Álgebra para que esté listo para el segundo cuatri y me está llevando muchísimo laburo! Entonces por eso ejercicios como esos (que no tienen mucho que ver con el enfoque de los parciales y que encima me iba a ser bastante difícil explicarlos en texto y que se entiendan, especialmente los de Problemas y complementos) prioricé no hacerlos por ahora! 

Vas a ver que de las otras guías del 2do parcial tampoco están los ejercicios de Problemas y Complementos... Tranqui que lo hice porque se que ninguno iba a ser crucial para que encaren el examen jaja
0 Responder
Andres
13 de junio 10:05
Bueno muchas gracias!
0 Responder